Quante volte ti ritrovi paralizzato davanti a 4² · 3²? Sui compiti, nei quiz online, compaiono risposte diverse: 12², 7², 144. La vera risposta è 144, e dietro questo numero c’è una regola semplice: due potenze con lo stesso esponente ma basi diverse si moltiplicano come (4 · 3)² = 12² = 144. Oppure calcolando direttamente: 4² = 16, 3² = 9, quindi 16 × 9 = 144. L’esercizio confonde perché le proprietà delle potenze non sembrano lineari, ma in realtà lo sono se conosci le regole esatte.
Il calcolo che manda in tilt
Quando vedi 4² · 3², la mente va a cercare una scorciatoia veloce. Ecco che saltano fuori risposte sbagliate: 12² (sommando le basi), 7² (sommando gli esponenti), oppure 36. Il vero problema è la mancanza di una regola chiara. Sembra che la matematica abbia tante eccezioni, quando in realtà ha solo proprietà precise che funzionano in contesti specifici. Comprendere questa distinzione è fondamentale per affrontare qualsiasi espressione con potenze senza incertezze.
Cosa significano 4² e 3²
Partiamo dal fondamentale. 4² significa 4 moltiplicato per sé stesso 2 volte: 4 × 4 = 16. Analogamente, 3² = 3 × 3 = 9. Ogni potenza ha una base (il numero grande) e un esponente (il numero piccolo in alto). L’esponente dice quante volte replichi la moltiplicazione della base per sé stessa. Esempio: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Ancora: 5² = 5 × 5 = 25.
Un dettaglio cruciale: moltiplicare le basi è un’operazione completamente diversa da “combinare” gli esponenti. Qui nascono i dubbi che alimentano la confusione.
La regola chiave: quando puoi sommare gli esponenti
La proprietà aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ funziona solo se le basi sono uguali. Questa è la regola che tutti ricordano a metà, creando il caos.
Esempi corretti:
- 2² · 2³ = 2⁵ = 32 (base 2 in entrambi i casi)
- 5³ · 5 = 5⁴ = 625 (ancora base 5)
In 4² · 3², le basi sono diverse (4 e 3). Non puoi sommare gli esponenti qui. Ecco perché “4² · 3² = 7²” è sbagliato e inganna tanti.
C’è però un’altra proprietà altrettanto importante: quando gli esponenti sono uguali ma le basi sono diverse, puoi moltiplicare le basi mantenendo lo stesso esponente. Formula: a² · b² = (a · b)². Questa è la vera scorciatoia per 4² · 3².
Il vero risultato di 4² · 3²
Metodo 1 (calcolo diretto):
- 4² = 16
- 3² = 9
- 16 × 9 = 144
Metodo 2 (scorciatoia corretta):
- 4² · 3² = (4 · 3)² (perché gli esponenti sono uguali)
- (4 · 3)² = 12² = 144
Entrambi danno 144. La differenza cruciale è che il secondo metodo applica una vera proprietà, non “una mossa magica a caso”. Riconoscere il momento giusto in cui una proprietà si applica è il vero segreto.
Gli errori più frequenti
Errore 1: Sommare gli esponenti quando le basi sono diverse.
Sbagliato: 4² · 3² = 7²
Errore 2: Moltiplicare le basi senza controllare se gli esponenti sono uguali.
Sbagliato: 4³ · 3² ≠ (4 · 3)⁵
Errore 3: Non riconoscere la proprietà al contrario.
Corretto: (4 · 3)² si spezza in 4² · 3²
Strategia in 3 passi per non sbagliare più:
- Guarda le basi: sono uguali?
- Guarda gli esponenti: sono uguali?
- Applica SOLO la proprietà corrispondente al tuo caso.
Quello che ti porti a casa
Adesso il quadro è completo. Sai perché 4² · 3² = 144 e dove nasceva la confusione iniziale. Hai riconosciuto due potenze con esponenti uguali e hai moltiplicato le basi seguendo una regola vera. Questo meccanismo vale per ogni espressione simile: (5 · 2)³, (3 · 4)², (6 · 7)² e oltre.
Le potenze non sono trabocchetti o giochi di prestigio. Sono scorciatoie potenti della matematica, purché tu sappia esattamente quando e come usarle.
